En este blog aprenderás a resolver en 4 pasos cualquiera de la ecuaciones diferenciales de Bernoulli con las que te enfrentes.

Para aprender ecuaciones diferenciales o cualquier materia, es importante que te formes estructuras mentales mediante pasos definidos que te permitan mediante la repetición y/o otras técnicas de estudio llegar a dominar los temas a prendidos.

Metodología de 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales de Bernoulli

I. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente:

$\frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y=f\left(x\right)y^n$

II. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal mediante la sustitución:

$u=y^{1-n}$ y despejamos $y$ para encontrar mediante la regla de la cadena $\frac{dy}{dx}$, es decir, si:

$y\left(u\right(x\left)\right)$, entonces: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\ast \frac{du}{dx}$. (OJO: el despeje de $y$ se obtiene mediante elevar a $u$ y $y$ a una potencia cuyo valor esta dado por el recíproco del exponente actual, es decir, si: $u=y^{1-n}$ $\Rightarrow$ $y=u^{\frac{1}{1-n}}$).

III. Sustituímos los valores obtenidos para $\frac{dy}{dx}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal:

dydx










+P(x)y=f(x)

Ejercicios Resuelto de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli en 4 pasos

Dennis G. Zill, Capítulo 2.5, Ejercicios 2.5, Problema 15

Resolver la siguiente ecuación diferencial

$$x\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{y^2}$$

(1)

Solución

Paso 1. Escribimos la forma estándar de una ED lineal y verificamos si es de Bernoulli, es decir que tenga la forma siguiente: $\frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y=f\left(x\right)y^n$

Por tanto:

$$\begin{array}{ccc}x\frac{dy}{dx}+y& =& \frac{1}{y^2}\\ \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}& =& \frac{1}{x{y}^2}\\ \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}& =& x^{-1}{y}^{-2}\end{array}$$

Por tanto la ED es de Bernoulli.

Paso 2. Convertimos la ED de Bernoulli en una ED lineal (Ver la definición completa del paso en la sección de metodología, mas arriba).

Tenemos, si:

$u=y^{1-n}$ y $n=-2$, entonces: $u=y^{1-(-2)}=y^{1+2}=y^3$

Por tanto:

$$\begin{array}{ccc}y& =& \sqrt[3]{3u}\\ y& =& u^{\frac{1}{3}}\end{array}$$

Y además, por la regla de la cadena, $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\ast \frac{du}{dx}$, tenemos:

$$\begin{array}{ccc}\frac{dy}{dx}& =& \frac{1}{3}{u}^{\frac{1}{3}-1}\frac{du}{dx}\\ \frac{dy}{dx}& =& \frac{1}{3}{u}^{\frac{-2}{3}}\frac{du}{dx}\\ \frac{dy}{dx}& =& \frac{1}{3u^{\frac{2}{3}}}{\ast }^{}\frac{du}{dx}\end{array}$$

Paso 3. Sustituímos los valores obtenidos para $\frac{dy}{dx}$ e $y$ en la ecuación original y desarrollamos para buscar poner la nueva ED es la forma estándar de una ED lineal: $\frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y=f\left(x\right)$

Tenemos:

$$\begin{array}{ccc}\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}& =& x^{-1^{}}{y}^{-2}\\ \Rightarrow \frac{1}{3u^{\frac{2}{3}}}\ast \frac{du}{dx}+\frac{u^{\frac{1}{3}}}{x}& =& x^{-1}{\left(u^{\frac{1}{3}}\right)}^{-2}\\ \Rightarrow \frac{1}{3u^{\frac{2}{3}}}\ast \frac{du}{dx}+\frac{u^{\frac{1}{3}}}{x}& =& x^{-1}{u}^{\frac{-2}{3}}\\ \Rightarrow \frac{du}{dx}+\frac{3(u^{\frac{2}{3}}\ast u^{\frac{1}{3}})}{x}& =& \frac{3(u^{\frac{2}{3}}\ast u^{\frac{-2}{3}})}{x}\\ \Rightarrow \frac{du}{dx}+\frac{3\left(u^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}\right)}{x}& =& \frac{3\left(u^{\frac{2}{3}–\frac{2}{3}}\right)}{x}\\ \Rightarrow \frac{du}{dx}+\frac{3u}{x}& =& \frac{3}{x}\end{array}$$

Paso 4. Resolvemos la ED que ahora es lineal